Bài giảng dưới đây gồm kiến thức trọng tâm và bài tập minh họa bài Sự đồng quy của ba trung tuyến, ba đường phân giác trong một tam giác. Bài giảng đã được DapAnHay biên soạn ngắn gọn, đầy đủ, dễ hiểu về đường trung tuyến, đường phân giác,... giúp các em dễ dàng nắm được nội dung chính của bài. Mời các em học sinh cùng tham khảo!
a) Đường trung tuyến của ba đường trung tuyến
Đoạn thẳng AM nối đỉnh A của tam giác ABC với trung điểm M của cạnh BC gọi là đường trung tuyến (xuất phát từ đỉnh A hoặc ứng với cạnh BC) của tam giác ABC (Hình bên).
b) Sự đồng quy của ba đường trung tuyến
Định lí 1
Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm (hay đồng quy tại một điểm). Điểm đó cách mỗi đỉnh một khoảng bằng \(\frac{2}{3}\) độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy. |
---|
Chẳng hạn, trong tam giác ABC (hình sau), các đường trung tuyến AM, BN, CP đồng quy tại điểm G và ta có
\(\frac{{GA}}{{MA}} = \frac{{GB}}{{NB}} = \frac{{GC}}{{PC}} = \frac{2}{3}\)
Chú ý: Điểm đồng quy của ba đường trung tuyến gọi là trọng tâm tam giác.
Ví dụ: Cho tam giác ABC với AM là trung tuyến và G là trọng tâm tam giác.
a) Chứng minh GA = 2GM.
b) Biết GM = 2 cm, tính GA.
Giải
Chứng minh
Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên
\(\frac{{GA}}{{MA}} = \frac{2}{3}\) hay \(GA = \frac{2}{3}MA\).
Ta có: \(GM = MA - GA = MA - \frac{2}{3}MA = \frac{1}{3}MA\)
Vậy \(GA = \frac{2}{3}MA = 2.\left( {\frac{1}{3}MA} \right) = 2GM.\)
b) Khi GM = 2 cm thì GA = 4 cm.
a) Đường trung tuyến của tam giác
Trong tam giác ABC, tia phân giác của góc A cắt cạnh 8C tại điểm D thì đoạn thẳng AD được gọi là đường phân giác (xuất phát từ đỉnh A) của tam giác ABC (Hình sau).
b) Sự đồng quy của ba đường trung tuyến
Định lí 2
Ba đường phân giác của một tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác đó. |
---|
Chẳng hạn, trong tam giác ABC (Hình sau), các đường phân giác AD, BE, CF đồng quy tại I và IH = IK = IL.
Ví dụ: Chứng minh rằng trong tam giác ABC cân tại A, giao điểm của ba đường phân giác nằm trên đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A (Hình sau).
Giải
Chứng minh
Gọi M là giao điểm của đường thẳng AI và BC.
Hai tam giác ABM và ACM có:
AB= AC (gt),
AM chung,
\(\widehat {BAM} = \widehat {CAM}\) (do AI là đường phân giác của góc BAC).
Do đó \(\Delta ABM = \Delta ACM\) (c.g.c).
Suy ra BM = CM hay Mlà trung điểm của BC.
Vậy AI là đường trung tuyến của tam giác ABC.
Câu 1: Trong tam giác ABC ở ví dụ 1, cho trung tuyến BN và GN = 1 cm. Tính GB và NB.
Hướng dẫn giải
Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên GB = \(\frac{2}{3}\) BN => GN = \(\frac{1}{3}\) BN
Ta có GN = 1 cm => BN = 3 GN = 3.1 = 3 cm
=> GB = \(\frac{2}{3}\) BN = \(\frac{2}{3}\) . 3= 2 cm
Vậy BN= 3 cm và GB = 2 cm
Câu 2: Cho tam giác ABC có hai đường phân giác AM, BN cắt nhau tại điểm I. Hỏi CI có là đường phân giác của góc C không ?
Hướng dẫn giải
Gọi IP là khoảng cách từ I đến BC, IQ là khoảng cách từ I đến AC
Có AM và BN là hai đường phân giao nhau tại I => I cách đều AC vad Bc => IP = IQ
Xét ∆ IPC và ∆ IQC ta có:
Chung cạnh IC
IP = IQ
=> ∆ IPC = ∆ IQC
=> \(\widehat{ICP}\) = \(\widehat{ICQ}\)
=> CI là đường phân giác của \(\widehat{C}\)
Qua bài giảng ở trên, giúp các em học sinh:
- Nhận biết đường trung tuyến, đường phân giác của tam giác.
- Nhận biết sự đồng quy của ba đường trung tuyến trong một tam giác.
- Nhận biết sự đồng quy của ba đường phân giác trong một tam giác.
Để củng cố bài học xin mời các em cùng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 7 Kết nối tri thức Chương 9 Bài 34để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.
Chọn câu đúng
Điền số thích hợp vào chỗ chấm: "Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng ... độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy"
Cho tam giác ABC có G là trọng tâm tam giác, N là trung điểm AC. Khi đó BG = ... BN. Số thích hợp điền vào chỗ trống là :
Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!
Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 7 Kết nối tri thức Chương 9 Bài 34để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.
Câu hỏi trang 72 SGK Toán 7 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Hoạt động 1 trang 72 SGK Toán 7 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Hoạt động 2 trang 73 SGK Toán 7 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Luyện tập 1 trang 73 SGK Toán 7 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Tranh luận trang 74 SGK Toán 7 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Vận dụng 1 trang 74 SGK Toán 7 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Câu hỏi trang 74 SGK Toán 7 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Hoạt động 3 trang 74 SGK Toán 7 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Luyện tập 2 trang 75 SGK Toán 7 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Vận dụng 2 trang 75 SGK Toán 7 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Giải bài 9.20 trang 76 SGK Toán 7 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Giải bài 9.21 trang 76 SGK Toán 7 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Giải bài 9.22 trang 76 SGK Toán 7 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Giải bài 9.23 trang 76 SGK Toán 7 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Giải bài 9.24 trang 76 SGK Toán 7 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Giải bài 9.25 trang 76 SGK Toán 7 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT
Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán DapAnHay sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!
Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!
-- Mod Toán Học 7 DapAnHay
Chọn câu đúng
Điền số thích hợp vào chỗ chấm: "Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng ... độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy"
Cho tam giác ABC có G là trọng tâm tam giác, N là trung điểm AC. Khi đó BG = ... BN. Số thích hợp điền vào chỗ trống là :
Cho tam giác ABC, có G là trọng tâm tam giác ABC, BG cắt AC tại M. Khi đó
Cho hình vẽ sau:
Biết MG = 3cm. Tính MR
Tam giác ABC có trung tuyến AM = 9cm và G là trọng tâm. Độ dài đoạn AG là
Tam giác ABC có trung tuyến AM = 15cm và G là trọng tâm. Độ dài đoạn AG là
Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BD; CE sao cho BD = CE. Khi đó tam giác ABC
Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BD và CE vuông góc với nhau. Tính độ dài cạnh BC biết BD = 9cm; CE = 12cm.
Tam giác ABC, các đường trung tuyến BD và CE. Chọn câu đúng
Mỗi tam giác có mấy đường trung tuyến?
Hãy lấy một mảnh giấy hình tam giác, gấp giấy đánh dấu trung điểm của các cạnh. Sau đó, gấp giấy để được các nếp gấp đi qua đỉnh và trung điểm của cạnh đối diện ( tức là các đường trung tuyến của tam giác). Mở tờ giấy ra, quan sát và cho biết ba nếp gấp ( ba đường trung tuyến) có cùng đi qua một điểm không?
Trên mảnh giấy kẻ ô vuông, mỗi chiều 10 ô, hãy đếm dòng, đánh dấu các đỉnh A,B,C rồi vẽ tam giác ABC. (H.9.29)
Vẽ hai đường trung tuyến BN, CP, chúng cát nhau tại G, tia AG cắt cạnh BC tại M.
+ AM có phải là đường trung tuyến của tam giác ABC không?
+ Hãy xác định các tỉ số \(\dfrac{{GA}}{{MA}};\dfrac{{GB}}{{NB}};\dfrac{{GC}}{{PC}}\)
Trong tam giác ABC ở ví dụ 1, cho trung tuyến BN và GN = 1 cm. Tính GB và NB.
Trong tình huống mở đầu, người ta chứng minh được G chính là trọng tâm của tam giác ABC. Em hãy cắt một mảnh bìa hình tam giác. Xác định trọng tâm của tam giác và đặt mảnh bìa đó lên một giá nhọn tại trọng tâm vừa xác định. Quan sát xem mảnh bìa có thăng bằng không
Mỗi tam giác có mấy đường phân giác?
Cắt một tam giác bằng giấy. Hãy gấp tam giác vừa cắt để được ba đường phân giác của nó. Mở tờ giấy ra, hãy quan sát và cho biết ba nếp gấp đó có cùng đi qua một điểm không (H.9.33)
Cho tam giác ABC có hai đường phân giác AM, BN cắt nhau tại điểm I. Hỏi CI có là đường phân giác của góc C không?
Chứng minh rằng trong tam giác đều, điểm cách đều 3 cạnh của tam giác là trọng tâm của tam giác đó.
Cho tam giác ABC với hai đường trung tuyến BN, CP và trọng tâm G. Hãy tìm số thích hợp vào chỗ chấm hỏi để được các đẳng thức:
BG = ? BN, CG = ? CP;
BG = ? GN, CG = ? GP.
Chứng minh rằng:
a) Trong một tam giác cân, hai đường trung tuyến ứng với 2 cạnh bên là hai đoạn thẳng bằng nhau.
b) Ngược lại, nếu tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó cân.
Cho góc xOy khác góc bẹt. Dùng compa dựng đường tròn tâm O cắt Ox tại A và cắt Oy tại B. Sau đó dựng hai đường tròn tâm A, tâm B có bán kính bằng nhau sao cho chúng cắt nhau tại M nằm nên trong góc xOy. Chứng minh rằng tia OM là tia phân giác của góc xOy.
Kí hiệu I là điểm đồng quy của ba đường phân giác trong tam giác ABC. Tính góc BIC khi biết góc BAC bằng 120\(^\circ \).
Gọi BE và CF là hai đường phân giác của tam giác ABC cân tại A. Chứng minh BE = CF.
Trong tam giác ABC, hai đường phân giác của các góc B và C cắt nhau tại D. Kẻ DP vuông góc với BC, DQ vuông góc với CA, DR vuông góc với AB.
a) Hãy giải thích tại sao DP = DR.
b) Hãy giải thích tại sao DP = DQ.
c) Từ câu a và b suy ra DR = DQ. Tại sao D nằm trên tia phân giác của góc A? ( Đây là một cách chứng minh định lí 2)
Họ và tên
Tiêu đề câu hỏi
Nội dung câu hỏi
0 Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *