Từ khoá gợi ý
Xét hai khẳng định sau:
(I) Mọi hàm số \(f(x)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) đều có đạo hàm trên đoạn đó.
(II) Mọi hàm số \(f(x)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) đều có nguyên hàm trên đoạn đó.
Trong hai khẳng định trên:
Hàm số \(F(x)\) được gọi là nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) nếu:
Giả sử \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) trên khoảng \((a;b)\). Giả sử \(G(x)\) cũng là một nguyên hàm của \(f(x)\) trên khoảng \((a;b)\). Khi đó:
Tìm nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \cos 3x\)
Cho \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)=e^x+2x\) thỏa mãn \(F\left( 0 \right) = \frac{3}{2}\). Tìm \(F(x)\).
Cho \(I = \int {{2^{\sqrt x }}\frac{{\ln 2}}{{\sqrt x }}{\rm{d}}x} \). Khi đó kết quả nào sau đây là sai?
Cho hàm số \(f(x)\) thỏa mãn \(f'(x) = 3 - 5\sin x\) và \(f(0) = 10\). Mệnh đề nào dưới đây là đúng ?
Giả sử hàm số \(f\left( x \right) = \left( {a{x^2} + bx + c} \right).{e^{ - x}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(g\left( x \right) = x\left( {1 - x} \right){e^{ - x}}\). Tính tổng \(A = a + b + c\), ta được:
Cho các hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{20{x^2} - 30x + 7}}{{\sqrt {2x - 3} }};\,\,F\left( x \right) = \left( {a{x^2} + bx + c} \right)\sqrt {2x - 3} \) với \(x > \frac{3}{2}\). Để hàm số \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) thì giá trị của \(a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c\) là:
Cho \(F(x)\) là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{\ln x}}{x}\). Tính \(F\left( e \right) - F\left( 1 \right)\)
Cho \(F\left( x \right) = \left( {x - 1} \right).{e^x}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right).{e^{2x}}\). Tìm nguyên hàm của hàm số \(f'\left( x \right).{e^{2x}}\).
Cho \(F(x) = \frac{1}{{2{x^2}}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(\frac{{f(x)}}{x}\). Tìm nguyên hàm của hàm số \(f'(x)\ln x\)
Cho \(F\left( x \right) = \int\limits_1^x {\left( {{t^2} + t} \right){\rm{d}}t} \). Giá trị nhỏ nhất của \(F(x)\) trên đoạn \(\left[ { - 1;1} \right]\) là:
Nếu \(f\left( 1 \right) = 12,\,\,f'\left( x \right)\) liên tục và \(\int\limits_1^4 {f'\left( x \right){\rm{d}}x} = 17\). Giá trị của \(f\left( 4 \right)\) bằng:
Cho biết \(\int\limits_1^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = - 2,\,\,\int\limits_1^4 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 3,\,\,\int\limits_1^4 {g\left( x \right){\rm{d}}x} = 7\). Khẳng định nào sau đây là sai?
Cho biết \(A = \int\limits_1^2 {\left[ {3f\left( x \right) + 2g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = 1\) và \(B = \int\limits_1^2 {\left[ {2f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = - 3\). Giá trị của \(\int\limits_1^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \) bằng:
Cho \(\int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right)dx = 2} \) và \(\int\limits_{ - 1}^2 {g(x)dx} = - 1\). Tính \(I = \int\limits_{ - 1}^2 {\left[ {x + 2f(x) - 3g(x)} \right]dx} \)
Cho tích phân \(I = \int\limits_1^2 {\frac{{\left( {{x^2} - 2x} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{x + 1}}{\rm{d}}x} = a + b\ln 2 + c\ln 3\) với \(a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c \in Q\). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
Một vật chuyển động với vận tốc \(v\left( t \right) = 1,2 + \frac{{{t^2} + 4}}{{t + 3}}\left( {{\rm{m/s}}} \right)\). Quãng đường vật đó đi được trong 4 giây đầu tiên bằng bao nhiêu ? (Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Một vật chuyển động theo quy luật \(s = - \frac{1}{2}{t^3} + 6{t^2}\) với t (giây) là khoảng thời gian tính từ khi vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật di chuyển được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 6 giây, kể từ khi bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được là bao nhiêu ?
Một người chạy trong thời gian 1 giờ, vận tốc v (km/h) phụ thuộc thời gian t (h) có đồ thị là một phần của đường parabol với đỉnh \(I\left( {\frac{1}{2};8} \right)\) và trục đối xứng song song với trục tung như hình bên. Tính quãng đường s người đó chạy được trong khoảng thời gian 45 phút, kể từ khi bắt đầu chạy.
Một người gửi 50 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 6%/năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào gốc để tính lãi cho năm tiếp theo. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm, người đó nhận được số tiền hơn 100 triệu đồng bao gồm gốc và lãi ? Giả định trong suốt thời gian gửi, lãi suất không đổi và người đó không rút tiền ra.
Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v (km/h) phụ thuộc vào thời gian t (h) có đồ thị là một phần của đường parabol có đỉnh \(I(2;9)\) và trục đối xứng song song với trục tung như hình bên. Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó.
.png)
Cho \(\int\limits_0^6 {f(x)dx} = 12\). Tính \(I = \int\limits_0^2 {f(3x)dx} \).
Nếu \(f(x)\) liên tục và \(\int\limits_0^4 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 10\), thì \(\int\limits_0^2 {f\left( {2x} \right){\rm{d}}x} \) bằng:
Biến đổi \(\int\limits_0^3 {\frac{x}{{1 + \sqrt {1 + x} }}{\rm{d}}x} \) thành \(\int\limits_1^2 {f\left( t \right){\rm{d}}t} \), với \(t = \sqrt {1 + x} \). Khi đó \(f(t)\) là hàm nào trong các hàm số sau?
Kết quả của tích phân \(I = \int\limits_1^2 {\frac{{{\rm{d}}x}}{{x\sqrt {1 + {x^3}} }}} \) có dạng \(I = a\ln 2 + b\ln \left( {\sqrt 2 - 1} \right) + c\) với \(a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c \in Q\). Khi đó giá trị của \(a\) bằng:
Tính tích phân \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin 2x{{\left( {1 + {{\sin }^2}x} \right)}^3}{\rm{d}}x} \).
Kết quả tích phân \(I = \int\limits_0^1 {\left( {2x + 3} \right){e^x}{\rm{d}}x} \) được viết dưới dạng \(I = ae + b\) với \(a,{\rm{ }}b \in Q\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
Tích phân \(\int\limits_0^{\sqrt a } {\left( {x - 1} \right){e^{2x}}{\rm{d}}x} = \frac{{3 - {e^2}}}{4}\). Giá trị của \(a>0\) bằng:
Cho \(\frac{\pi }{m} - \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {x\cos x{\rm{d}}x} = 1\). Khi đó \(9{m^2} - 6\) bằng:
Cho tích phân \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {x\left( {\sin x + 2m} \right){\rm{d}}x} = 1 + {\pi ^2}\). Giá trị của tham số \(m\) là:
Kết quả của tích phân \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {2x - 1 - \sin x} \right){\rm{d}}x} \) được viết ở dạng \(\pi \left( {\frac{\pi }{a} - \frac{1}{b}} \right) - 1\). Khẳng định nào sau đây là sai?
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^3} - x\) và đồ thị hàm số \(y = x - {x^2}.\)
Kết quả của diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = - {x^3} + 3{x^2} - 2\), trục hoành, trục tung và đường thẳng \(x=2\) có dạng \(\frac{a}{b}\) (với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản). Khi đó mối liên hệ giữa \(a\) và \(b\) là:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = x\sqrt {1 + {x^2}} \), trục hoành và đường thẳng \(x=1\) là:
Viết Kí hiệu \((H)\) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = 2\left( {x - 1} \right){e^x},\) trục tung và trục hoành. Tính thể tích \(V\) của khối tròn xoay thu được khi quay hình \((H)\) xung quanh trục \(Ox\).
Thể tích của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng \(x=0\) và \(x=3\), có thiết diện bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\) tại điểm có hoành độ \(x\,\,\left( {0 \le x \le 3} \right)\) là một hình chữ nhật có hai kích thước bằng \(x\) và \(2\sqrt {9 - {x^2}} \), bằng:
Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong \(y = \sqrt {2 + \cos x} \), trục hoành và các đường thẳng \(x = 0,x = \frac{\pi }{2}\). Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu ?
Hình phẳng \(C\) giới hạn bởi các đường \(y = {x^2} + 1\), trục tung và tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = {x^2} + 1\) tại điểm \(\left( {1;2} \right)\), khi quay quanh trục \(Ox\) tạo thành khối tròn xoay có thể tích bằng:
Bình luận
Để lại bình luận
Địa chỉ email của hạn sẽ không được công bố. Các trường bắt buộc được đánh dấu *